Il concetto di insieme è un concetto matematico molto astratto e generale.

Un insieme può connotare una moltitudine di cose diverse ed è un concetto che sta a fondamento della matematica, dal concetto di insieme è possibile definire il concetto di numero e fondare su di esso tutta la matematica.

È un fatto notevole che sia possibile indurre una metrica su insiemi in una maniera molto generale utilizzando una misura m e le semplici operazioni di unione e intersezione tra insiemi.

La funzione definita come:

 
                                m (A D B)
d(A,B) =  ------------- 
                                m ( A È B)

si può dimostrare essere effettivamente una distanza che induce una metrica sulla potenza degli insiemi considerati.

Dove D sta per differenza simmetrica ovvero A D B = (A B) È (B A).

Una applicazione di questa metrica è stata utilizzata nell’implementazione di algoritmi genetici per la risoluzione di particolari problemi.

Gli algoritmi genetici sono oramai una tecnologia matura che ha dimostrato il suo potenziale in numerose e variegate applicazioni nel mondo reale.

Ultimamente l’attenzione si rivolge all’integrazione degli algoritmi genetici con altri modelli di ispirazione biologica per costruire paradigmi computazionali molto più potenti e flessibili per la risoluzione di problemi, molti laboratori di ricerca hanno mostrato che i vari modelli computazionali possono essere migliorati se li si integra tra loro. L’integrazione di questi modelli fra loro o con altri paradigmi, come ad esempio la fuzzy logic, consente loro di superare le limitazioni che presentano singolarmente e di ottenere performance migliori. Le reti neurali cellulari sono un esempio di questo approccio. Un altro esempio è rappresentato dai sistemi neurogenetici in cui gli algoritmi genetici sono usati per semplificare la fase di training o per evolvere i pesi e l’architettura di una rete neurale. Un ulteriore esempio riguarda l’utilizzo degli algoritmi genetici per far evolvere le regole di un automa cellulare.

Come esempio di integrazione fra i vari paradigmi è interessante un modello in cui l’evoluzione dei pesi di una rete neurale è realizzato attraverso l’uso di un algoritmo genetico. Montana e Davis hanno usato gli algoritmi genetici in sostituzione dell’algoritmo di back propagation per cercare i pesi delle connessioni di una rete neurale con una architettura fissata.

I nodi (neuroni) e i pesi delle connessioni di una rete neurale sono rappresentati dai geni di un cromosoma e entrambi sono codificati utilizzando lo stesso alfabeto.

La funzione di fitness è calcolata sulla base del rapporto tra il numero di bit diversi, fra due stringhe binarie, e il numero di bit complessivo.

È facile vedere come la funzione di fitness così definita corrisponda alla distanza sopra introdotta, in cui la misura non è altro che la cardinalità dell’insieme.

All’altro estremo della ricerca biologica troviamo una applicazione di questa metrica nel campo della psicologia cognitiva, in particolare nell’analisi dei processi di categorizzazione e riconoscimento di oggetti.

Il tentativo teorico degli studi di psicologia cognitiva consiste nello specificare quali siano i meccanismi che consentano di:

1. Individuare esattamente il prototipo di una categoria in funzione delle caratteristiche associate ai singoli esemplari della categoria stessa

2. Decidere se un dato esemplare appartiene o no a una data categoria o, nel caso di più categorie, a quale categoria appartiene in funzione delle caratteristiche possedute dall’esemplare stesso.

La specificazione di questi meccanismi è stata oggetto di varie proposte teoriche, tra le quali una delle più interessanti è stata quella avanzata da James A. Hampton nel 1993. Innanzitutto, egli definisce il prototipo di una categoria tramite l’elenco ordinato di tutte le caratteristiche che sono associate ad almeno un esemplare della categoria, ciascuna a sua volta associata a un peso prototipico che è pari al peso della caratteristica stessa diviso per il numero di esemplari che fanno parte della categoria. In altri termini, il peso prototipico coincide con una valutazione della presenza media della caratteristica nell’ambito degli esemplari della categoria.

Per quanto riguarda la decisione relativa all’appartenenza di un esemplare a una data categoria, Hampton introduce una grandezza che misura la somiglianza dell’esemplare dato dalla categoria. In particolare questa somiglianza viene misurata facendo il rapporto tra il numero di caratteristiche che individuano l’esemplare e il numero di caratteristiche totali del prototipo.

Anche in questo caso è facile verificare che la somiglianza di Hampton corrisponde alla metrica su insiemi sopra introdotta.

Lo studio delle regole di categorizzazione è attualmente oggetto di una intensa attività di ricerca. Questa attività ha preso in esame non solo i meccanismi base a cui i soggetti decidono di attribuire un nuovo esemplare a una categoria preesistente, ma anche i meccanismi che consentono ai soggetti di formare nuove categorie in seguito all’osservazione di un certo numero di esemplari. Le regole di categorizzazione finora proposte si possono ripartire in quattro grandi classi:

1. Una categoria è incentrata sul suo prototipo: ogni esemplare viene incluso nella categoria in cui la sua somiglianza col prototipo è massima, o la distanza dal prototipo è minima, rispetto alle somiglianze coi prototipi di altre categorie; la formazione della categoria prende dunque le mosse dalla scelta del prototipo della categoria stessa;

2. Una categoria è caratterizzata sia dal suo prototipo che da un opportuno raggio di prototipicità, cioè da una opportuna distanza dal prototipo comprendente gli esemplari più tipici; si può dunque introdurre il concetto di cerchio di prototipicità, inteso come la zona, o intorno, situata a una distanza dal prototipo non superiore al raggio di prototipicità, in cui gli esemplari più tipici sono contenuti; è ovvio che regole di questo tipo hanno senso solo ove sia possibile introdurre un opportuno concetto di distanza tra esemplari;

3. Una categoria comprende solo esemplari che sono più vicini tra loro, o la cui distanza reciproca non supera un certo valore di soglia, un esemplare è classificato nella stessa categoria dell’esemplare che gli è più vicino;

4. Una categoria comprende solo gli esemplari la cui distanza reciproca media è sufficientemente bassa; un esemplare è incluso nella categoria in cui la sua distanza media dagli esemplari della categoria stessa è la minima possibile.

In tutti questi casi risulta evidente come alla base della categorizzazione sia importante la possibilità di definire una metrica sulle caratteristiche degli esemplari.

Ora si pone un importante problema concettuale: nel caso in cui non vi sia sovrapposizione tra caratteristiche la metrica sopra introdotta fornisce una distanza massima.

Il problema della sovrapposizione nulla, ad una analisi più attenta, si rivela però un problema di rappresentazione, se associamo due oggetti allora esiste certamente una rappresentazione in cui essi hanno qualcosa in comune (al limite la nostra stessa associazione).