La logica specifica i principi del ragionamento valido in diverse aree di pensiero. Sono possibili diversi modi di formalizzare un dato settore della logica, ma quello classico adotta un punto di vista essenzialmente sintattico secondo cui la conclusione è derivabile dalle premesse per mezzo di regole formali (cioè sintattiche) di inferenza.

Le regole formali di inferenza come il modus ponens sono enunciate in maniera puramente sintattica: p
p --> q
----------
Quindi q

e sono usate, in effetti, solo per derivare certi segni sulla carta a partire da certi altri segni.

Nonostante sia enunciata in modo sintattico, una regola come il modus ponens è suscettibile di interpretazione semantica. Secondo molti psicologi, alla base della nostra capacità di ragionamento c'è un qualche tipo di logica mentale. Dal punto di vista della teoria della logica mentale, un'inferenza deduttiva richiede la traduzione delle premesse in un linguaggio mentale interno, la combinazione delle rappresentazioni così ottenute con la conoscenza generale relativa all'argomento espresse nello stesso modo, e la derivazione di una conclusione per mezzo di regole formali di inferenza applicate a queste rappresentazioni.

Una teoria dell'inferenza che segua tale schema esplicativo deve rispondere a due domande cruciali: quale logica, fra le molte possibili, è effettivamente quella usata nella mente e come essa è rappresentata internamente ? Tre fenomeni esigono una spiegazione.

Come fa il sistema inferenziale a individuare le conoscenze pertinenti ad una determinata situazione ? Come fa a scegliere una conclusione, anche se provvisoria ? Quand'è che una conclusione appare corretta oltre ogni ragionevole dubbio ?

Tanto il reperimento delle informazioni necessarie quanto la formulazione di una conclusione dipendono da procedimenti semantici. L'idea che la validità di un'inferenza dipenda da una derivazione formale in un calcolo mentale va incontro a serie difficoltà. È possibile condurre un'inferenza prendendo in considerazione tutti i possibili modelli delle premesse, cioè tutti i modi in cui queste possono essere interpretate, verificando che la conclusione risulta vera in ciascuno di essi. Purtroppo, anche la più semplice delle premesse è suscettibile di infinite interpretazioni distinte. Una soluzione cognitivamente più adeguata è quella secondo cui si immagina una situazione tipica descritta dalle premesse, tentando di trovare il modo di modificarla al fine di rendere falsa la conclusione.

Secondo la teoria dei modelli mentali il primo passo di un ragionamento consiste nell'immaginare una situazione in cui le premesse sono vere. Per esempio, per rappresentare una premessa della forma:

“Tutti gli artisti sono barbieri”, possiamo immaginare un certo numero di artisti cui viene associato il fatto che sono barbieri:

artista - artista01, artista02
artista01 – barbiere
artista02 – barbiere

Esistono pertanto degli insiemi di simboli mentali semplici che rappresentano insiemi di individui. Se vogliamo tenere conto della possibilità che vi siano barbieri che non sono artisti dobbiamo aggiungere:

non_artista01 – barbiere

L'informazione da una seconda premessa, ad esempio:

“Tutti i barbieri sono chimici”, può essere usata per costruire un modello che integra entrambe le premesse:

artista - artista01, artista02
artista01 – barbiere
artista02 – barbiere
non_artista01 – barbiere
barbiere – chimico
non_barbiere – chimico
Dal modello si può dedurre
“Tutti gli artisti sono chimici”

che stabilisce una relazione non esplicitamente asserita nelle premesse.

Consideriamo le seguenti asserzioni:

“Nessun artista è un barbiere”
“Tutti i barbieri sono chimici”

Costruiamo un modello possibile:

artista01 – artista
artista02 – artista
barbiere01 - barbiere, chimico
barbiere02 - barbiere, chimico

Da cui si trae : “nessun artista è un chimico” o anche: “nessun chimico è un artista.”

Come passo successivo cerchiamo un controesempio, anche il modello seguente è in accordo con le premesse:

artista01 – artista
artista02 - artista, chimico
barbiere01 - barbiere, chimico
barbiere02 - barbiere, chimico

Tale modello falsifica la conclusione precedente. Le conclusioni che si possono trarre sono:

Qualche artista non è un chimico
Qualche chimico non è un artista
Cercando un controesempio, possiamo considerare il modello:

artista01 - artista, chimico
artista02 - artista, chimico
barbiere01 - barbiere, chimico
barbiere02 - barbiere, chimico

che refuta la conclusione “Qualche artista non è un chimico”.

Dalla considerazione congiunta dei tre modelli la procedura inferenziale trae la conclusione:

“Qualche chimico non è un artista”

Un tipico errore di ragionamento consiste nel trarre una conclusione basata su un singolo modello iniziale e nel non riuscire a falsificarla. È proponibile l'idea di creare tutti i modelli possibili ?

Consideriamo l'idea di numero; in particolare di numero reale. Quanti numeri reali ci sono ? Si potrebbe pensare che il numero dei numeri interi sia già maggiore dei numeri naturali, poiché ogni numero naturale è un intero, mentre alcuni interi, ossia quelli negativi, non sono numeri naturali, e similarmente si potrebbe pensare che il numero delle frazioni sia più grande del numero degli interi. Non è così. Secondo la potente e bella teoria dei numeri infiniti proposta da G. Cantor, il numero totale delle frazioni, il numero totale dei numeri interi e il numero totale dei numeri naturali sono tutti lo stesso numero infinito, denotato con “alef zero”. Si può vedere che il numero dei numeri interi è uguale a quello dei numeri naturali costruendo una corrispondenza biunivoca:

0 – 0
-1 – 1
+1 – 2
-2 – 3
+2 – 4
... -n – 2n-1
n – 2n
...

Allo stesso modo possiamo costruire una corrispondenza biunivoca tra le frazioni e i numeri interi. Gli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali si dicono numerabili; gli insiemi infiniti numerabili sono quelli con “alef zero” elementi. Esistono insiemi che non sono numerabili. Esistono più numeri reali che numeri razionali. Non esiste una corrispondenza biunivoca fra numeri reali e numeri naturali e perciò il numero dei numeri reali è in effetti maggiore del numero dei numeri razionali e non numerabile.

I numeri reali sono chiamati “reali” perché sembrano fornire le grandezze richieste per misurare quantità del mondo reale. Il rapporto fra i numeri astrattamente definiti “reali” e le quantità fisiche non è così nettamente definito come si potrebbe immaginare. I numeri reali si riferiscono ad una idealizzazione matematica piuttosto che a qualsiasi quantità reale fisicamente obiettiva. Il sistema dei numeri reali ha la proprietà, per esempio, che fra due di essi, per quanto vicini, se ne trova sempre un terzo. Non è affatto certo che si possa attribuire realisticamente questa proprietà a distanze fisiche o a tempi. Continuando a dividere la distanza fisica fra due punti, raggiungeremmo scale così piccole che il concetto stesso di distanza cesserebbe di avere un significato. Un'osservazione simile dovrebbe valere per intervalli di tempo corrispondentemente piccoli. I numeri reali rappresentano un'estrapolazione dall'esperienza davvero straordinaria.

In effetti non accade spesso che si metta in discussione l'adeguatezza del sistema dei numeri reali. Ma non è tutto, ai numeri il cui quadrato è negativo è stato applicato convenzionalmente il termine di immaginario. Questi numeri immaginari non sono meno reali dei numeri reali. Importanti teorie sulla natura fisica ne fanno largo uso. Per la precisione si utilizzano numeri complessi che sono una combinazione di numeri reali e numeri immaginari. Sorprendentemente i numeri complessi possiedono una rappresentazione “geometrica”.

Quanto sono “reali” gli oggetti del mondo matematico ? Da un certo punto di vista pare che in essi non possa esserci niente di reale. Gli oggetti matematici sono solo concetti; essi sono le idealizzazioni mentali dei matematici, spesso prodotte sotto lo stimolo di un ordine (apparente ?) di certi aspetti del mondo che ci circonda, ma sono nondimeno idealizzazioni mentali. Al tempo stesso, questi concetti matematici sembrano avere una profonda realtà, del tutto sottratta alla volontà di un qualsiasi matematico. Si ha l'impressione che le strutture matematiche non siano solo un parto della mente, ma che abbiano una realtà propria e indipendente: un'esistenza propria.

Data articolo: dicembre 2007