Partiamo dal considerare delle reti booleane, ovvero degli elementi che possono essere o attivi o inattivi, interconnessi da collegamenti eccitatori o inibitori. Le reti booleane sono analoghe, per alcuni aspetti, alle reti neurali. Le reti booleane possono esibire un ordine profondo, ma anche un caos strabiliante. Le condizioni nelle quali delle dinamiche ordinate possono emergere all’interno di tali sistemi dipendono dagli attrattori che in esse si realizzano.

Due caratteristiche relative al modo in cui sono strutturate le reti possono controllare se esse si trovano in un regime ordinato o caotico, o in un regime di transizione di fase tra questi due, al confine del caos. Una caratteristica è semplicemente quanti input controllano ogni elemento: se ogni elemento è controllato solo da uno o due altri elementi, ovvero se la rete è poco connessa, allora il sistema mostra un ordine sbalorditivo. Se invece ogni elemento è controllato da molti altri, allora la rete è caotica. Così regolare la connessione di una rete serve a regolare anche il fatto che si formino ordine o caos.

La seconda caratteristica che controlla il sorgere dell’ordine o del caos prende forma proprio nelle stesse regole di controllo. Alcune delle regole di controllo, le funzioni booleane AND e OR, tendono a creare dinamiche ordinate, altre regole di controllo creano invece il caos. Un modo per chiedersi quali tipi di reti di elementi esibiscano ordine o caos è quello di costruire delle reti molto specifiche e di studiarle. L'approccio più naturale è definire accuratamente un certo tipo di reti, e poi usare dei computer per simularne un gran numero. Allora, come se facessimo un sondaggio, potremo eseguire un ritratto dei comportamenti tipici, o generici, dei membri della classe di reti studiate.

Consideriamo le reti in cui ogni elemento riceve input solamente da un altro elemento. In queste reti non succede niente di interessante. Esse cadono velocemente in cicli di stato molto brevi, così brevi che spesso consistono di un solo stato, una singola configurazione di attivazione. All'altro estremo della scala, consideriamo delle reti in cui ogni elemento riceve un input da tutti gli altri elementi incluso se stesso. In questo caso il sistema diviene estremamente caotico. Uno scopre velocemente che la lunghezza dei cicli di stato delle reti è la radice quadrata del numero degli stati.

Basta fare alcuni conti per rendersi conto che una piccola rete di soli 200 elementi può continuare ad attraversare stati di attivazione diversi per un periodo astronomico: nei sistemi termodinamici aperti non in equilibrio l’ordine non è assolutamente automatico. Se tentiamo di far evolvere una rete simile cambiando casualmente le regole booleane di qualche elemento altereremo metà delle transizioni di stato della rete e scaraventeremo tutti i vecchi bacini di attrazione e i cicli di stato nella spazzatura della storia della rete. In questo caso, piccoli cambiamenti causano grandissime variazioni di comportamento. In questa famiglia non ci sono piccole variazioni ereditabili che consentano alla selezione di agire.

Un esempio di ordine che si sviluppa in queste reti avviene quando ogni elemento è connesso mediamente ad altri due. Per queste reti la lunghezza dei cicli di stato non è la radice quadrata del numero degli stati ma, approssimativamente, la radice quadrata del numero delle variabili binarie. Pensate a una rete booleana costruita a caso con 100.000 elementi ognuno dei quali riceva due input. Il diagramma di collegamento sembrerebbe una accozzaglia impazzita, inoltre ad ogni elemento è stata assegnata in maniera casuale una funzione booleana. Anche la logica è quindi assemblata a caso.

Eppure la rete si stabilizza velocemente in cicli di appena 317 configurazioni. In queste reti l'ordine si esprime per vie diverse. Stati vicini convergono nello spazio di stato. In altre parole, due configurazioni iniziali simili saranno situate probabilmente nello stesso bacino di attrazione, e quindi guideranno il sistema verso lo stesso attrattore. Queste reti non sono troppo ordinate a differenza della rete i cui elementi hanno un solo input, non sono rigide come una roccia, ma sono capaci di comportamenti complessi.

Due parametri sono sufficienti per determinare se delle reti booleane casuali sono ordinate o caotiche. Reti poco connesse esibiscono un ordine interno, quelle densamente connesse virano verso il caos, mentre reti con una singola connessione per ogni elemento si congelano in un comportamento rigido e immobile. Ma la densità non è l'unico fattore. Se le reti hanno connessioni numerose è possibile definire un parametro che le porta da un regime caotico a un regime ordinato. (B. Derrida, G. Weisbuch)

Come fanno le reti cellulari a raggiungere sia la stabilità che la flessibilità?

La nuova interessante ipotesi è che le reti possano ottenere questo scopo raggiungendo una specie di stato sospeso, in equilibrio sull'orlo del caos. Non dovremmo sorprenderci troppo se lungo questo asse si verifica un cambiamento improvviso nel comportamento, una specie di transizione di fase dall’ordine al caos. Una transizione di fase molto simile si verifica nei modelli di reti booleane, ancora una volta appare un raggruppamento significativo di elementi interconnessi. Se questo raggruppamento si forma allora la rete si trova in un regime ordinato, se non si forma allora la rete è in un regime caotico.

Proprio in mezzo, proprio vicino alla transizione di fase, proprio ai confini del caos, possono verificarsi i comportamenti più complessi: abbastanza ordinati da assicurare una stabilità, ma pieni di flessibilità e sorprese. È proprio su questo confine che si concentrano i maggiori studiosi della complessità. Possiamo vedere intuitivamente che il confine del caos può rappresentare un regime attraente per coordinare comportamenti complessi.