Nello studio dei processi cognitivi grande rilevanza viene riposta nello studio delle somiglianze. In ogni atto percettivo l'oggetto non ha mai la stessa rappresentazione ma rappresentazioni simili. La teoria matematica della classificazione costituisce un importante ed ampio capitolo che cerca di fornire di un supporto matematico al processo di classificazione che sta alla base di molti processi cognitivi. Classificazione, aggregazione e generalizzazione sono i binari su cui si sviluppa il processo di pensiero al suo livello fondamentale.

Trovare somiglianze costituisce quindi un compito di estremo interesse per l'elaborazione dell'informazione ma proprio su questo fronte il computer si trova in grande difficoltà, possedere una teoria matematica della classificazione sarebbe un obiettivo di estremo interesse per la computer science e per l'intelligenza artificiale. Nel tentativo di costruire una buona base matematica per la classificazione possiamo ragionare in termini di insiemi: il concetto di insieme, che sta a fondamento della matematica, costituisce un potente e generale punto di partenza. Possiamo ragionare in termini di insiemi di informazioni, e in tal caso avremmo la maggiore generalità possibile, oppure possiamo ragionare in termini di insieme di caratteristiche. Quando l'informazione è codificata su un supporto fisico viene abbastanza naturale considerarla come un insieme di caratteristiche.

Le operazioni più semplici che possiamo eseguire sugli insiemi sono l'unione e l'intersezione, risulta a questo proposito di estrema rilevanza il fatto che sia possibile definire una distanza tra insiemi a partire da queste semplici operazioni. Per far ciò abbiamo bisogno di una funzione misura che ci consenta di passare dall'insieme ad un numero reale, la funzione misura più semplice che possiamo immaginare consiste nella cardinalità dell'insieme, il numero di elementi di un insieme definisce una misura dell'insieme stesso.

La funzione misura però potrebbe essere anche molto più complessa ed in particolare tale da mettere in relazione l'insieme con un significato o contenuto informativo dell'insieme stesso. In altre parole la funzione misura potrebbe essere definita in maniera da cogliere anche la parte semantica del contenuto informativo dell'insieme.

Avendo a disposizione una misura possiamo allora definire una distanza considerando il rapporto tra la misura della differenza simmetrica tra due insiemi e la misura dell'unione. La differenza simmetrica è costituita dall'unione di due insiemi meno l'intersezione tra gli stessi. Si può dimostrare che la funzione così definita è effettivamente una distanza ed induce uno spazio metrico sulla potenza degli insiemi considerati: chiameremo tale distanza simiglianza. Da notare che tale distanza non coinvolge un sistema di riferimento prefissato ma che di volta in volta considera solo gli insiemi effettivamente considerati: è in un certo senso una distanza dinamica.

Come in tutti gli spazi metrici è possibile definire gli intorni matematici per ciascun insieme considerato come gli insiemi che distano meno di una certa soglia prefissata: ciascun intorno rappresenta una classe in grado di classificare ed interpretare gli insiemi stessi. Questa classe è una classe dinamica e non statica predefinita ma dipendente dal valore del parametro di soglia.

Una possibile applicazione di questa distanza risiede nella programmazione logica. Nella programmazione logica gli insiemi di regole sono rigidi e predefiniti. Utilizzando la funzione simiglianza è possibile costruire insiemi di regole che sono simili ad altri insiemi di regole e considerare la risoluzione del sistema come una trasformazione generale in spazi astratti. In particolare utilizzando una logica a quattro valori è possibile costruire sistemi deduttivi più elastici dei sistemi deduttivi classici.

Una logica a quattro valori consente il ragionamento non monotonico. La funzione simiglianza consente il trattamento di informazioni simili alle informazioni in input o registrate. Un altro aspetto interessante è che le simiglianze risultano invarianti per un certo numero di trasformazioni definite sull'insieme delle informazioni. Con un linguaggio colorito possiamo immaginare una melodia che si trasforma a partire dalle note scritte su un pentagramma nei tasti di un pianoforte pigiati da un pianista fin nelle onde sonore della musica che giunge alle orecchie di un ascoltatore.