L'Universo è spazialmente aperto o chiuso ? Spesso trascurato dai cercatori, lo studio delle varianti topologiche di spazio a tre dimensioni è suscettibile di dare delle risposte originali alla questione dell'estensione spaziale. Nei modelli di universo “spiegazzato”, il cielo è il teatro di una gigantesca illusione ottica.
di Jean-Pierre Luminet
Il cosmo relativista
La relatività generale sconvolge i concetti stessi di tempo e di spazio. L'Universo non ha una struttura di spazio euclidiano immutabile tessuta da un tempo indipendente, è uno spaziotempo deformato dalla presenza della materia. Manifestazione della curvatura dello spaziotempo, la gravitazione detta le traiettorie delle particelle materiali e dei raggi luminosi, costretti a sposare i contorni di una geometria quadridimensionale non euclidiana.
Le equazioni fondamentali della relatività descrivono il modo con cui il contenuto materiale dell'universo determina la geometria dello spaziotempo. In questo modo, la teoria permette di descrivere l'universo nel suo insieme secondo i modelli cosmologici plausibili. Tra le soluzioni che la teoria consente, solo certe descrivono correttamente l'universo senza entrare in contraddizione con le osservazioni astronomiche.
Einstein nel 1917 costruì il primo modello di universo fondato sulla sua teoria della relatività. La sua grande trovata fu di proporre un nuovo approccio della questione dello spazio finito o infinito. In effetti, la geometria non-euclidiana consente di rappresentare precisamente uno spazio allo stesso tempo finito e infinito: l'ipersfera. Einstein dunque, offrì per la prima volta nella storia della cosmologia, un modello di universo finito che sfuggiva a ogni paradosso di “margine”.
Uno spazio finito e senza margine
I partigiani di un mondo finito sono per lungo tempo inciampati su una difficoltà fondamentale. Sembrava indispensabile immaginare al Mondo, un centro e una frontiera, ma Archytas di Tarente, pitagoriano del V° secolo, enunciò un paradosso volto a dimostrare l'assurdità dell'idea di un margine materiale del mondo. Il suo argomento ha conosciuto una fortuna considerevole in tutti i dibattiti sullo spazio: “Se io sono all'estremità del cielo, posso allungare la mano o un bastone ? È assurdo pensare che non posso farlo; e se lo posso, ciò che trovo al di là è sia un corpo, sia lo spazio. Noi possiamo quindi andare ancora al di là di questo e così di seguito. E se c'è sempre un nuovo spazio verso il quale si può tendere il bastone, questo implica chiaramente un'estensione senza limiti”. Se ciò che è al di là del Mondo fa sempre parte del Mondo, il Mondo non può logicamente essere limitato senza che si abbia un paradosso.
È stato necessario aspettare lo sviluppo delle geometrie non euclidee del XIX secolo per risolvere la controversia. Queste geometrie permettono di concepire degli spazi finiti senza avere dei margini (così come, a due dimensioni, la superficie di una sfera) e considerare senza paradosso un universo finito. Questa concezione non è così naturale e la confusione si ritrova ancora oggi in numerose menti; quando, per esempio, un conferenziere descrive l'espansione dell'universo, si vede spesso porre la domanda: in che cosa si espande l'universo? La risposta è che l'universo non si espande in nulla, poiché non c'è spazio al di fuori di esso ! Ma per comprenderlo veramente, occorre adoperare un quadro mentale non euclideo.
Accanto alla rivoluzione concettuale generata dalla relatività, i progressi osservazionali condussero Hubble ad annunciare, nel 1929, che le altre galassie si allontanano sistematicamente dalla nostra, con delle velocità proporzionali alla loro distanza. Il modello di Einstein dovette quindi essere abbandonato, perché esso descriveva un universo statico, a vantaggio dei modelli di universo dinamici esplorati indipendentemente dal russo Alexandre Friedmann e dal belga Georges Lemaitre.
La questione della limitatezza o dell'illimitatezza dello spazio è posta perfettamente nel quadro dei modelli di Friedmann-Lemaitre, chiamati più comunemente “modelli di bing bang”. Questi modelli suppongono che l'universo abbia dovunque le stesse proprietà (lo spazio è detto “omogeneo e isotropo”). Queste proprietà sono di due tipi soltanto: la curvatura, costante nello spazio ma di cui rimane da precisare il segno, e la topologia. Per quanto concerne la curvatura, sono considerate tre famiglie di spazi: lo spazio euclideo ( e cioè a curvatura nulla, quello di cui conosciamo bene le proprietà), lo spazio sferico (a curvatura positiva) e lo spazio iperbolico ( a curvatura negativa). Lo spazio sferico è, in ogni caso, finito (è una delle ragioni per le quali Einstein, figlio di Parmenide, lo scelse inizialmente). Per gli spazi delle altre due famiglie, il carattere finito o infinito dipende dalla topologia. Tuttavia, nelle versioni più semplici, essi sono infiniti.
I cosmologi trascurano spesso l'aspetto “topologia” per considerare solo la curvatura. Questa semplificazione è cruciale rispetto al problema dell'infinito spaziale, poiché, in questo caso, il dilemma finito/infinito si riduce a conoscere il segno della curvatura dello spazio. La relatività generale indica come calcolare questa curvatura. Il valore dipende dalla densità media della materia che contiene, così come di una costante Lambda chiamata costante cosmologica. Più spesso viene introdotta una seconda semplificazione, quella di supporre questa costante nulla. Allora, il carattere finito/infinito non dipende altro che dalla densità media della materia: a seconda che essa sia superiore o inferiore a un certo “valore critico” di 10-29g/cm3, la curvatura è positiva o negativa, e lo spazio finito o infinito.
Cosa ci mostrano le osservazioni ? Indicano una densità media circa dieci volte inferiore al valore critico. Apparentemente, se si trascurano le complicazioni topologiche e la costante cosmologica, lo spazio sarebbe dunque infinito. Di fatto, il valore osservato non è che un limite inferiore. Sarebbe vano credere che noi vediamo tutta la materia dell'universo. Diverse ragioni suggeriscono l'esistenza di grandi quantità di masse nascoste, forse sufficientemente affinché la densità reale dell'universo raggiunga il valore critico. In questo caso, l'universo resterebbe marginalmente aperto nello spazio e nel tempo. È il modello euclideo che Einstein e de Sitter proposero nel 1931, e che ancora oggi conserva i favori di numerosi cosmologi senza che nulla di determinante lo giustifichi (salvo....un sentimento estetico !)
Disegno: L'Universo di Friedmann-Lemaitre :
1° dis.: Spazio sferico (curvatura positiva) separazione fra due galassie ( n.d.t.: scritta in verticale in tutti 3 i disegni) - tempo
2° dis.: Spazio euclideo (curvatura nulla)
3° dis.: Spazio iperbolico (curvatura negativa)
L'universo è chiuso o aperto ?
Nei modelli cosmologici di Friedmann-Lemaitre a costante cosmologica nulla, la curvatura è direttamente legata alla densità: curvatura positiva (spazio sferico) quando la densità è superiore al valore critico, curvatura nulla (spazio euclideo) se essa è uguale al valore critico e curvatura negativa (spazio iperbolico) se essa è inferiore. La curvatura dunque, detta solo l'evoluzione temporale: l'universo è temporalmente chiuso nel caso sferico, temporalmente aperto nel caso euclideo e iperbolico. Il modello euclideo di Einstein - de Sitter del 1931 (che certi stimano favorizzato dal modello di inflazione) corrisponde allo schema dell'ambiente.
Inoltre, se si suppone la topologia più semplice, la curvatura detta anche il carattere finito o infinito dello spazio: finito nel caso sferico, infinito nel caso euclideo e iperbolico. Mediante queste due semplificazioni (abusive), c'è una stretta equivalenza tra limitatezza/illimitatezza temporale e limitatezza/illimitatezza spaziale. Nei modelli di Lemaitre a costante cosmologica non nulla, la curvatura è legata alla densità della materia e alla costante cosmologica. Non c'è più legame diretto tra la curvatura e la dinamica temporale dell'universo: questo può essere sferico ma temporalmente aperto. Se, inoltre, la topologia non è semplice, non c'è più nessuna corrispondenza tra limitatezza/illimitatezza temporale e limitatezza/illimitatezza spaziale.
L'oscurità della notte
Se il paradosso del margine è stato ostacolo per lo spazio finito, il “paradosso della notte nera” è stato ostacolo per l'infinito cosmico.L'oscurità della notte in effetti, nasconde un mistero che implica il cosmo intero, la sua estensione e la sua storia. Si enuncia così: se lo spazio è infinito e uniformemente riempito di astri, in qualunque direzione si guardi, si finisce per trovare una stella sulla linea dello sguardo. In altre parole, il fondo del cielo dovrebbe essere una tappezzeria radiosa continuamente composta di stelle, che non lascia alcuno spazio al nero. Perché non è così? La domanda, posta a partire dal XVII secolo da Keplero, sollevò decine di spiegazioni e di modelli. È lo scrittore americano Edgar Poe colui che ha fornito la prima risposta soddisfacente.
In un testo premonitorio intitolato Eureka, Poe spiega che il nero della notte riposa sulla limitatezza del tempo cosmico. In effetti la luce si propaga solo a velocità limitata. Ora, in un universo temporalmente finito, le stelle non sono sempre esistite. Noi possiamo dunque ricevere la loro luce solo se queste hanno avuto il tempo di aspettarci, cioè a dire se le stelle che l'hanno emessa sono sufficientemente vicine. Così, il cielo non è uniformemente brillante perché le stelle (non necessariamente l'universo tutto intero) esistono solo da un tempo limitato. Comprendendo come l'oscurità notturna è stata ricca di insegnamento sulla limitatezza temporale del mondo, Poe anticipava di molti decenni i modelli relativisti del big-ban.
L'irradiazione dello sfondo del cielo
Poiché l'universo non esiste (se non in quanto universo, almeno in uno stato che permettesse l'esistenza delle stelle)che da qualche miliardo di anni, lo sfondo del cielo non è molto brillante. Esso emette un debole chiarore, impercettibile ai nostri occhi, ma che i radiotelescopi hanno captato nel 1965; è la vestigia dell'abbagliante fuoco primitivo raffreddato da quindici miliardi di anni di viaggio. Che lo spazio sia infinito o no, solo un volume finito e calcolabile è accessibile alle osservazioni. L'irradiazione dello sfondo del cielo segna un orizzonte, un ultimo muro contro cui si inciamperà per sempre ogni osservazione. Perché, nella sua fase primordiale, l'universo non dà nulla a vedere: né la luce, né le stelle, né alcun astro si erano ancora formati !
La topologia dell'universo
Le domande relative alla forma globale dello spazio e, in particolare, la sua estensione finita o infinita, derivano, in ultima analisi, non dalla relatività generale (una teoria fisica locale), ma dalla topologia (teoria matematica globale).
Nulla obbliga lo spazio a possedere la topologia più semplice (detta “semplicemente connessa”), perché la relatività generale non impone alcuna costrizione sulle proprietà globali dello spaziotempo. Numerose “varianti” topologiche di spazio a tre dimensioni possono dunque essere utilizzate per costruire dei modelli di universo pertinenti, cioè compatibili sia con la relatività che con le osservazioni. Grazie alle topologie “multi-connesse”, diventa possibile considerare dei modelli d'universo dove lo spazio è limitato qualunque sia la sua curvatura, anche se la densità della materia e la costante cosmologica sono molto deboli.
Storicamente, è stato W. de Sitter a far notare nel 1917 a Einstein che il suo modello di universo statico e sferico poteva adattarsi ad una topologia diversa, e cioè quella dello spazio protettivo. La differenza non era molto grande, perché queste due varianti sono finite. È nell'articolo fondatore di Friedmann, nel 1922, che per la prima volta si parla di una variante topologica finita, dello spazio euclideo (normalmente infinito). Questo resta ignorato da Einstein che, nel 1931, pubblica con de Sitter un articolo dove essi optano per il modello euclideo infinito. È solo nel 1958 che Lemaitre menziona l'esistenza di spazi iperbolici compatti, anche questi suscettibili di essere applicati ai modelli di bing bang. Malgrado ciò, l'argomento è sempre rimasto confidenziale e largamente ignorato dalla comunità dei cercatori.
Oltre all'interesse nel “compattare” degli spazi infiniti, i modelli di spazio multi-connesso sono fonte di molte sorprese, perché creano una “illusione dell'infinito”. Vediamo perché. Per costruire degli spazi multi-connessi, i matematici ci insegnano che si può partire da uno dei tre tipi di spazio “comuni” (semplicemente connessi). In seguito, l'identificazione di certi punti gli uni con gli altri, cambia la forma di spazio e la rende multi-connessa. A partire da quello che si può costruire dei modelli d'universo, dove lo spazio è finito (per quanto la curvatura possa essere negativa o nulla) e di volume realmente piccolo. Vengono chiamati “mini-universi”. L'esempio più semplice è quello dove il nostro spazio sarebbe un ipertore avente un raggio inferiore a dieci miliardi di anni-luce. In questo caso, i raggi luminosi avrebbero avuto il tempo di fare molte volte il giro dell'universo. Questo implicherebbe che ogni oggetto cosmico (ogni galassia per esempio), dovrebbe apparire come altrettante immagini fantasma, osservabili nelle diverse regioni del cielo. L'universo osservato ci apparirebbe dunque costituito dalla ripetizione di uno stesso insieme di galassie.
Non è facile verificare se noi viviamo o no in un mini-universo. Le immagini fantasma di ogni galassia “reale” ci apparirebbero in diverse direzioni, con luminosità diverse, sotto diverse orientazioni ed a epoche diverse dall'evoluzione della galassia in questione. Sarebbe praticamente impossibile riconoscerle come tali ! L'universo potrebbe apparirci vasto, “dispiegato”, riempito di miliardi di galassie, mentre in realtà sarebbe molto più piccolo, “ripiegato” ma contenente solo un piccolo numero di autentici oggetti. Una enorme illusione ottica cosmica! Certo, le informazioni osservazionali attuali consentono di eliminare la possibilità di un universo troppo piccolo... altrimenti avremmo già riconosciuto, vicino a noi, delle immagini multiple della nostra stessa Galassia ! Diversi argomenti di questo tipo, applicati a oggetti cosmici (i cumuli di galassie più vicine), permettono di escludere un universo le cui dimensioni sarebbero inferiori a qualche centinaio di milioni di anni-luce. Studi statistici sulla distribuzione dei cumuli di galassie riveleranno forse la natura “spiegazzata” dello spazio su una scala di qualche miliardo di anni-luce.
Noi vediamo un cielo pieno di galassie, ma il suo aspetto non permette di decidere se le galassie di regioni lontane sono o no immagini fantasma delle galassie più vicine. L'ipotesi di un Universo multiconnesso non può essere scartata: l'Universo potrebbe apparirci vasto “spiegato”, mentre in realtà sarebbe molto più piccolo e “ripiegato”.
B.A.- BA di topologia
La topologia è il settore della geometria che classifica gli spazi in funzione della loro forma globale. Per definizione, gli spazi di una stessa classe possono dedursi gli uni dagli altri per deformazione continua, senza tagli né strappi. Nel caso degli spazi a due dimensioni, e cioè le superfici, la sfera, per esempio, ha la stessa topologia di qualunque superficie ovoide chiusa. Ma il piano è di topologia diversa, poiché nessuna deformazione continua gli darà la forma di una sfera. Per meglio visualizzare cos'è la topologia, partiamo dal piano euclideo comune. È un foglio infinito a 2 dimensioni ( che più spesso si immagina nello spazio a 3 dimensioni). Tagliamo una striscia di “lunghezza” infinita ma di larghezza finita; poi identifichiamo (riattacchiamo) i due margini di questa striscia: si ottiene un cilindro, e cioè una superficie di topologia diversa da quella del piano iniziale. Prendiamo un altro foglio finito e, questa volta, tagliamolo in rettangolo. Identifichiamo due a due i margini paralleli. Otteniamo una superficie chiusa, finita. Partendo da un semplice foglio di carta abbiamo dunque definito 3 superfici di topologie diverse, appartenenti alla stessa famiglia di curvatura nulla: le superfici localmente euclidee (non sono le sole).
Per meglio visualizzare cos'è la topologia, partiamo da un piano euclideo comune. È un foglio infinito a 2 dimensioni (che si immagina il più spesso nello spazio a 3 dimensioni). Tagliamo una striscia di “lunghezza” infinita, ma di larghezza finita; poi identifichiamo (riattacchiamo) i due bordi di questa striscia: ne otteniamo un cilindro, cioè una superficie di topologia diversa da quella del piano iniziale. Prendiamo un altro foglio infinito e, questa volta, tagliamolo in un rettangolo. Identifichiamo due a due i bordi paralleli. Otteniamo una superficie chiusa, finita. È un tore. Partendo da un semplice foglio di carta, abbiamo definito dunque 3 superfici di topologie diverse, appartenenti alla stessa famiglia a curvatura nulla: le superfici localmente euclidee (non sono le uniche). I matematici si sono attaccati alla classificazione degli spazi a tre dimensioni. Come le superfici, gli spazi possono dapprima essere ordinati secondo il segno della curvatura, in tipo sferico, tipo euclideo o tipo iperbolico. In seguito si denominano le varianti topologiche all'interno di ognuna di queste famiglie. Esistono per esempio 18 tipi di spazi tridimensionali a curvatura nulla, di topologia diversa. Il più semplice è lo spazio euclideo “comune”, quello di cui si imparano le proprietà sui banchi di scuola, ma altri sono chiusi e finiti. È, per esempio, il caso dell'ipertore che generalizza a tre dimensioni il caso del tore. Un ipertore può essere considerato come l'interno di un cubo comune, le cui facce opposte sono identificate due a due: uscendo da una, si rientra immediatamente da quella che le è opposta. Un tale spazio è finito. D'altra parte, c'è un'infinità di forme di spazi a curvatura positiva, tutte finite, e un'infinità di spazi a curvatura negativa, certe chiuse (finite) e le altre aperte (infinite). Per visualizzarle, le si rappresenta con l'interno di un poliedro di cui certe facce sono identificate due a due.
I cinque poliedri regolari, già invocati da Platone per geometrizzare gli “elementi” Terra, Acqua, Aria, Fuoco, Quintessenza, servono oggi a rappresentare certi spazi multi-connessi, a condizione di considerare che le facce sono identificate per coppie secondo certe trasformazioni geometriche.
Uno spazio iperbolico compatto
L'interno di un dodecaedro regolare, le cui facce pentagonali sono identificate (incollate) per coppie, è uno spazio chiuso di curvatura negativa. Visto dall'interno, si avrebbe l'impressione di vivere in uno spazio cellulare, pavimentato all'infinito da dodecaedri deformati da illusioni ottiche.
Copyright 1990 da The Geometry Center, Università del Minnesota.
Giochi di specchi cosmici
Chi non è stato affascinato dai giochi di specchi ? Che si tratti della Galleria degli Specchi del Castello di Versailles o dei più modesti Palazzi degli Specchi delle attrazioni da fiera, ognuno si meraviglia dall'illusione generata dalla immagini fantasma. Gli specchi nascondono certi segreti dell'infinito. Tutti hanno constatato che tappezzare di specchi i muri di una stanza dà l'illusione di una stanza più grande.
Prendiamo una stanza tappezzata di specchi sulle sei pareti (pavimento e soffitto compresi). Se voi entrate nella stanza, per il gioco delle molteplici riflessioni sulle pareti, avete immediatamente l'impressione di vedere l'infinito, come se foste sospesi in cima a un pozzo senza fondo, pronti ad essere inghiottiti in una direzione o un'altra al minimo movimento.
Potrebbe ben essere così lo spazio cosmico !
Potrebbe essere che la topologia dell'universo sia multiconnessa, cioè che lo spazio rassomigli all'interno di una stanza tappezzata di specchi complicati. Questa multiconnessità creerebbe nell'universo dei cammini supplementari per i raggi luminosi che ci provengono da lontane galassie. Ne risulterebbe un gran numero di immagini fantasma di queste galassie. Gli schema derivano da recenti simulazioni numeriche di universi “spiegazzati”, effettuate con i miei collaboratori.
schema in alto: lo spazio è un iperbore, rappresentato dall'interno di un cubo di 5 miliardi di anni-luce di lato le cui facce opposte sono identiche. 50 galassie sono distribuite a caso nello spazio.
schema al centro : posizione, su un planisfero celeste, delle 50 galassie “originali”.
Schema in basso: apparenza del cielo, tenendo conto dei multeplici percorsi dei raggi luminosi. Ogni galassia “reale” genera una cinquantina d'immagini “fantasma”. È impossibile distinguere le immagini “reali” dalle immagini fantasma. Se si nota la rassomiglianza di questo schema con l'apparenza del cielo vero, se ne deduce che è del tutto possibile che noi viviamo in un'illusione ottica cosmica che ci dà l'impressione, non dell'infinito, ma dell'immenso, mentre lo spazio reale sarebbe piccolo e “spiegazzato”.
Il cosmo quantico
È chiaro che il concetto di piccoli universi spiegazzati deriva dall'estetica parmenidea. Questa dapprima ha trovato spazio nella maggior parte dei fisici moderni, che cercano di eliminare gli infiniti dalla loro teorie. L'illimitatezza spaziale non è il solo infinito della cosmologia relativista. La teoria predice in effetti delle configurazioni dove certe quantità geometriche (la curvatura) e fisiche (densità di energia, temperatura) diventano infinite: le singolarità gravitazionali. Le più conosciute sono la singolarità iniziale del big bang, e la singolarità terminale nascosta in fondo a un buco nero. I fisici dubitano che una teoria che genera delle singolarità possa essere corretta. Il fatto è che la relatività generale è incompleta, poiché non tiene conto dei principi della meccanica quantica. Quest'
